A tárgy részletes tematikája

Autonóm differenciálegyenlet-rendszerek és fázistereik

  • Autonóm rendszerek
  • Egyensúlyi helyzetek és zárt trajektóriák
  • Fázisterek

Diffeomorfizmusok és szimmetriák

  • Fázisáralmlások
  • Egyparaméteres transzformációcsoportok
  • Egyparaméteres diffeomorfizmuscsoportok
  • Diffeomoerfizmusok határa vektormezőkre és iránymenzőkre
  • Szimmetriák
  • Az egyparaméteres szimmatriacsoport alkalmazása egyenlet integrálására
  • A kiegyenesítési tétel

Peremérték-problémák és sajátérték-feladatok

  • Sturm-féle peremérték-problémák
  • Lagrange-azonosság
  • Alapmegoldások
  • Green-függvény
  • Egzisztencia és unicitási tételek
  • Maximum- és minimumelv
  • Nemlineáris peremérték-problémák
  • Sturm-Liouville sajátérték-feladatok
  • Prüfer-transzformáció
  • Sturm szeparációs tétele
  • Forgásszimmetrikus elliptikus problémák

Differenciálegyenletek stabilitása

  • Lyapunov tételei
  • A Lyapunov-féle direkt módszer

Variációszámítás

  • Funkcionálok variációja
  • Bilineáris és kvadratikus funkcionálok
  • Funkcionálok második variációja
  • Funkcionálok extrémuma
  • Az Euler--Lagrange-differenciálegyenletek
  • Az Euler--Lagrange-differenciálegyenletek invarianciája
  • Az Euler--Lagrange-differenciálegyenletek kanonikus alakja
  • Az Euler--Lagrange-differenciálegyenletek első integráljai
  • A Noether-tétel
  • A legkisebb hatás elve
  • Néhány klasszikus probléma megoldása

Elsőrendű parciális differenciálegyenletek

  • Elsőrendű kvázilineáris differenciálegyenletek
  • Elsőrendű homogén lineáris parciális differenciálegyenletek általános megoldása
  • Kvázilineáris differenciálegyenletek általános megoldása
  • Cauchy-feladat elsőrendű kvázilineáris differenciálegyenletekre
  • Általános elsőrendű parciális differenciálegyenletek
  • Általános elsőrendű parciális differenciálegyenletekre vonatkozó Cauchy-feladatok

 

Vizsgáztatási módszer

  • gyakorlati jegy: zárthelyi dolgozat
  • kollokvoium: szóbeli vizsga
  • tételsor

 

Ajánlott irodalom

 

[1] Budó Ágoston, Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1964.
[2] Czách László, Simon László, Parciális differenciálegyenletek (1. félév), Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1993.
[3] B. Dacorogna, Introduction to the calculus of variations., 2nd ed., London: Imperial College Press, 2008.
[4] L. C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
[5] Ph. Frank, R. Mises, A mechanika és fizika differenciál- és integrálegyenletei I-II., Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1968.
[6] M. Mesterton-Gibbons, A primer on the calculus of variations and optimal control theory., Student
Mathematical Library, 50. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.
[7] A. D. Ioffe, V. M. Tihomirov, Theory of extremal problems., Studies in Mathematics and its Applications, 6. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1979.
[8] Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex, Budapest
[9] G. Leitmann, The calculus of variations and optimal control. An introduction. Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering, 24. Posebna Izdanja [Special Editions], 14. Plenum Press, New York-London, 1981.
[10] I. G. Petrovszkij, Előadások parciális differenciálegyenletekből,  Akadémiai Kiadó, Budapest, 1955.
[11] Székelyhidi László, Elsőrendű parciális differenciálegyenletek, KLTE Debrecen, 1980.
[12] A. N. Tyihonov, A. A. Szamarszkij, A matematikai fizika differenciálegyenletei, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956.
[13] V. Sz. Vlagyimirov, Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979.
[14] V. Sz. Vlagyimirov, Parciális differenciálegyenletek feladatgyűjtemény, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980.

[15 ]Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen – Eine Einfürung, 7. Auflage, Springer, 2000.

 

Letölthető oktatási segédanyagok

Syllabus

A másodrendű, konstansegyütthatós, homogén, lineáris rendszer fázissíkja

Tételsor

Jegyzet

Feladatlapok