Tárgy neve: Modern analízis I.
Óraszám/hét: 2+2+0 (előadás+tantermi gyakorlat+laboratóriumi gyakorlat)
Kredit: 3+2
Számonkérés módja: kollokvium és gyakorlati jegy
Előadó: Gselmann Eszter

Syllabus

 

A tárgy heti bontású tematikája


1. hét Metrikus terek, példák, folytonos leképezések, izometriák, konvergencia, nyílt és zárt halmazok, teljes metrikus terek
2. hét Banach-féle fixponttétel és alkalmazásai, Baire-féle kategória-tétel és következményei, kompaktság, sorozatkompaktság, teljes korlátosság, Hausdorff-tétele, Heine-Borel-tétel, Arzelá-Ascoli-tétel
3. hét Lineáris terek, példák, lineáris függetlenség és függőség, Hamel-bázis, normált és Banach-terek, példák
4. hét Mértéktér, mértékek konstruálása, külső mértékek, Lebesgue-mérték, Lebesgue-Stieltjes-mérték
5. hét Mérhető függvények, az integrál, Lp terek
6. hét A Lebesgue- és a Riemann-integrál kapcsolata, Fubini-tétel, abszolút folytonos függvények
7. hét Lineáris terek, Hahn-Banach-tétel és alkalmazásai
8. hét Sorozatok és sorok normált terekben, Schauder-bázis
9. hét Kompakt halmazok normált terekben, a legjobb approximáció problémája, kompakt halmazok speciális terekben
10. hét Lineáris operátorok és funkcionálok, a lineáris operátorok terének struktúrája
11. hét A Hahn-Banach-tétel lineáris normált térben, konjugált tér, reflexív terek
12. hét A gyenge- és gyenge*-topológia, speciális terek konjugált terei
13. hét A Hahn-Banach-tétel elválasztási alakja, az egyenletes korlátosság tétele, Banach-Steinhaus-tételek, alkalmazások
14. hét A nyílt leképezések tétele, Banach-tétele a korlátos inverzről, alkalmazások, zárt gráf tétel

 

Követelmények


A gyakorlati jegy megszerzésének feltételei

-legfeljebb három gyakorlatról való hiányzás
-a zárthelyi dolgozat során legalább 60% teljesítése
-a zárthelyi dolgozat ideje:


Vizsgáztatási módszer

-szóbeli vizsga


 

Ajánlott irodalom


1. C.D. Aliprantis, O. Burkinshaw, Problems in real analysis (A workbook with solutions), Academic Press, 1999.
2. Járai Antal, Mérték és integrál, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002.
3. Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex, Budapest, 2007.
4. A.A. Kirillov, A.D. Gvisiani, Feladatok a funkcionálanalízis köréből, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.
5. A.N. Kolmogorov, Sz.V. Fomin, A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.
6. Losonczi László, Funkcionálanalízis I., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1994.

 

 

Előadásjegyzetek

 

Mértékelmélet