I. Geometria 1

Előadás

Írásbeli vizsga, a vizsgára bocsátás feltétele a gyakorlat sikeres teljesítése.

Illeszkedési struktúrák

  • Illeszkedési sík/tér; minimális modell, bizonyítások az illeszkedési axiómák alapján.

Abszolút geometria

  • Vonalzó axióma (egyenesek, félegyenesek koordinátázása, a szakaszfelmérés tétele)
  • Félsík axióma, a Pasch-tétel
  • Szögmérő- és Kongruencia axióma: a Pons Asinorum, a háromszögek egybevágóságának alapesetei
  • A merőleges egyenes egzisztencia- és unicitástétele
  • A párhuzamosság elegendő feltételei, a párhuzamos egyenes egzisztenciatétele.
  • Az Euklideszi párhuzamossági axióma és ekvivalensei

Euklideszi geometria

  • A párhuzamos szelők tétele, háromszögek hasonlósága
  • Arányossági tételek derékszögű háromszögben: magasság-tétel, befogó-tétel és Pitagorasz tétele
  • Az Euklideszi sík izometriái, a síkizometriák alaptétele és osztályozása
  • Az Euklideszi tér izometriáinak típusai
  • A hasonlóságok fixponttétele
  • Az egybevágóság és a hasonlóság általános fogalma
  • A területmérő-függvény tulajdonságai, Jordan mérték a síkon, a kör területe
  • A térfogatmérő függvény tulajdonságai, a gömb térfogata
  • A gömbi geometria elemei

Irodalom

  • Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1962.
  • John Roe: Elementary Geometry, Oxford University Press, 1993.
  • Kovács Zoltán: Geometria (az euklideszi geometria metrikus megalapozása), Kossuth Egyetemi Kiadó, 2004.
  • Laczkovich Miklós: Sejtés és bizonyítás, Typotex, 1998.
  • Szilasi József: Geometria I., KLTE TTK, Debrecen, 1990.
  • Vincze Csaba, Az abszolút geometria alapjai, kézirat, 2018.
  • Vincze Csaba, Az euklideszi geometria alapjai, kézirat, 2018.

Gyakorlat

A gyakorlat látogatása kötelező. A gyakorlat sikeres teljesítése a vizsgára bocsátás feltétele. A gyakorlati jegy megszerzése a gyakorlatvezető által koordinált zárthelyi dolgozat keretein belül történik. Az eredmény egy alkalommal javítható.

A háromszög-geometria elemei

  • Nevezetes pontok, vonalak, körök. Euler egyenes, Feuerbach kör. Izogonális pont. A talpponti háromszög minimumtulajdonsága.

Trigonometria és alkalmazásai

  • Hozzáférhetetlen távolság meghatározása.

A körgeometria elemei

  • Érintő, érintőnégyszög, húrnégyszög.
  • Mértaniközép-tételek és alkalmazásaik: pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal, hatványpont.

Koordinátageometria és alkalmazásai

  • háromszög- és körgeometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel, metszési feladatok.

Geometriai szerkesztések (szerkesztések körzővel és vonalzóval)

  • Alapszerkesztések, racionális műveletek, gyökvonás. Az aranymetszés. Szabályos ötszög,tízszög szerkesztése.

Inverzió

  • Apollóniusz-féle feladatok.

Kúpszeletek

  • Kúpszeletekkel kapcsolatos szerkesztési feladatok.
  • A kúpszeletek koordinátageometriája

Térgeometria

  • Felszín, térfogat.
  • A kúpszeletek térbeli származtatása.

A gömb

Irodalom

  • Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1962.
  • Kozma László és Vincze Csaba: College Geometry, University of Debrecen, 2014, TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0098
  • Pólya György: Matematikai módszerek a természettudományban, Gondolat Könyvkiadó, Budapest, 1984.
  • Strohmajer János: Geometriai példatár I – IV, Nemzeti tankönyvkiadó, 1997.
  • Vincze Csaba: Trigonometria és Koordinátageometria, Kossuth Egyetemi Kiadó, 2008.
  • Boda Judit és Vincze Csaba: Trigonometria és Koordinátageometria feladatgyűjtemény, kézirat, 2015.

II. Konvex Geometria

Előadás

Irásbeli vizsga, a vizsgára bocsátás feltétele a gyakorlat sikeres teljesítése.

Témakörök

  1. Affin és konvex halmazok, affin és konvex burkoló, az affin halmazok struktúratétele.

  2. Caratheodory tétele és következményei: kompakt halmaz konvex burkának kompaktsága, a színezett Caratheodory tétel.

  3. A Radon lemma és Helly tétele.

  4. A Helly tétel alkalmazásai: lefedési tételek.

  5. Krasnosselsky „art gallery” tétele.*

  6. Szeparálási tételek.  

  7. A támaszhipersík. A konvexitás külső jellemzése (a támaszhipersíkok egzisztencia-tételének megfordítása). 

  8. A Krein-Milmann tétel. Kirchberger szeparálási tétele.*

  9. Támaszfüggvény és Minkowski funkcionál. Poláris halmaz.

  10.  Konvex politópok. Az előállítási tétel: lapok és élek.

  11.  Euler poliédertétele. Szabályos testek. 

  12.  A Cauchy-féle merevségi tétel.*

  13.  Konvex függvények analízise: folytonosság és egyoldali iránymenti derivált. A minimumhely létezésének elsőrendű feltétele.

  14.  A Fermat-pont és általánosításai: a Vázsonyi-féle tétel.

*A tétel bizonyítása nem képezi a számonkérés anyagát.

Irodalom

  • S. R. Lay: Convex Sets and Their Applications, John Wiley & Sons, Inc., 1982.
  • R. Schneider: Convex bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Cambridge University Press, 1993.
  • A. C. Thompson: Minkowski Geometry, Cambridge University Press, 1996.
  • F. A. Valentine: Convex Sets, New York, 1964.
  • Vincze Csaba: Convex Geometry, University of Debrecen, 2013, TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0025.

Gyakorlat

A gyakorlat látogatása kötelező. A gyakorlat sikeres teljesítése a vizsgára bocsátás feltétele. A gyakorlati jegy megszerzése a gyakorlatvezető által koordinált zárthelyi dolgozat keretein belül történik. Az eredmény egy alkalommal javítható.

Témakörök

  1. Affin és konvex kombinációk. Affin függőség, függetlenség. Affin és baricentrikus koordináták.

  2. Konvex kombináció tagszámának redukciója.  Radon partíció.

  3. A Helly tétel alkalmazásai:  minimum- és maximum-távolságok aránya véges ponthalmazokra, a Reuleaux háromszög és tulajdonságai.

  4. A Helly tétel alkalmazásai: konvex síkidomok Blaschke pontja.

  5. Szendvics-tétel.*

  6. Műveletek konvex halmazokkal.

  7. Kitekintés a konvex geometria modern fejezeteire*: konvex kompakt halmazok metrikus tere.

  8. Izoperimetrikus egyenlőtlenség konvex halmazokra.*

  9. Támaszfüggvény és Minkowski funkcionál. A poláris halmaz meghatározása.

  10. A legközelebbi pont tulajdonság* (a konvexitás külső jellemzése).

  11. Kirchberger szeparálási tételének alkalmazásai: szeparálhatóság és a legjobb affin approximáció problémája.

  12.  Konvex poliéderek és szabályos testek.

  13.  Átdarabolási problémák.

  14.  Kitekintés a konvex geometria modern fejezeteire*: Radström beágyazási tétele. 

*A témakör nem képezi a számonkérés anyagát.

Irodalom

  • V. G. Boltyanszkij és I. M. Jaglom: Konvex alakzatok, Polygon jegyzettár, 2011.
  • V. G. Boltyanszkij és I. C. Gohberg: Alakzatok felbontása kisebb részekre, Tankönyvkiadó, Budapest, 1976.
  • Laczkovich Miklós: Sejtés és bizonyítás, Typotex kiadó, 1998.
  • S. R. Lay, Convex Sets and Their Applications, John Wiley & Sons, Inc., 1982.
  • Vincze Csaba: Convex Geometry, University of Debrecen, 2013, TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0025.

III. Konvex Geometria alkalmazásai

Előadás

Irásbeli vizsga

Témakörök

1. A konvex geometria klasszikus tételeinek általánosításai: Tverberg tétele.

2. A konvex geometria klasszikus tételeinek általánosításai: Helly típusú tételek csillagszerű halmazokra.

3. A konvex geometria klasszikus tételeinek általánosításai: Kirchberger típusú tételek, szeparálás gömbbel.

4. Műveletek halmazokkal, a Hausdorff távolság.

5. Kompakt halmazok metrikus tere és a teljességi tétel.

6. A Blaschke-féle szelekciós tétel. Extrémális halmazok.

7. Radström beágyazási tétele.

8. A Brunn-Minkowski elmélet: a Brunn-Minkowski és az izoperimetrikus egyenlőtlenség konvex halmazokra.

9. Art gallery geometria: Krasnosselsky art gallery tétele, láthatósági problémák, Chvátal tétele.

10. Az általánosított kúpszeletek és alkalmazásaik: polyellipszisek az euklideszi síkon.

11. Az Erdős-Vincze tétel.

12. Az általánosított kúpszeletek és alkalmazásaik: ekvidisztáns halmazok.

13. Geometriai tomográfia: irányra vonatkozó röntgenfüggvények és az egyértelműség problémája

14. Rekonstrukciós algoritmusok.

Irodalom

  • R. G. Gardner: Geometric Tomography, Cambridge University Press, 2006 (second edition).
  • S. R. Lay: Convex Sets and Their Applications, John Wiley & Sons, Inc., 1982.
  • R. Schneider: Convex bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Cambridge University Press, 1993.
  • J. O’ Rourke: Art Gallery Theorems and Algorithms, Oxford University Press, 1987
  • A. C. Thompson: Minkowski Geometry, Cambridge University Press, 1996.
  • F. A. Valentine: Convex Sets, New York, 1964.
  • Vincze Csaba: Convex Geometry, University of Debrecen, 2013, TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0025.

IV. Matematika 3

Előadás

Irásbeli vizsga, a vizsgára bocsátás feltétele a gyakorlat sikeres teljesítése.

  1. Műveletek komplex számokkal, áttérés kanonikus alakról trigonometrikus és exponenciális alakra.

  2. A sík topológiájának elemi fogalmai: belső pont, külső pont, határpont, torlódási pont és izolált pont. Nyílt és összefüggő halmazok.

  3. Sorozatok, sorok konvergenciája. Függvénysorozatok pontonkénti és egyenletes konvergenciája.

  4. A geometriai sor és alkalmazásai: hányados és gyökkritérium. Hatványsorok és konvergenciasugár.

  5. Az exponenciális függvény hatványsora és a konvergencia bizonyítása; trigonometrikus és hiperbolikus függvények.

  6. Komplex differenciálhatóság. A Cauchy-Riemann egyenletek levezetése. A differenciálhatóság elegendő feltételei.

  7. Komplex görbementi integrál.  A Cauchy-féle integráltétel és bizonyítása. Az integrálformula és következményei: Taylor sor.

  8. Izolált szingularitás: Laurent sor. Reziduum-tétel.

  9. Euklideszi vektorterek: skaláris szorzat, norma, távolság és szög. A Cauchy-Schwarz-Bunyakovszki egyenlőtlenség bizonyítása. A Gram-Schmidt-féle ortogonalizálás.

  10. Fourier-együtthatók és a legjobb approximáció problémája.

  11. Pre-Hilbert és Hilbert terek.

  12. Legendre polinomok. A Fourier-féle trigonometrikus rendszer és az ortogonalitás bizonyítása. Fourier-együtthatók, Fourier-féle sorfejtés. A konvergencia elegendő feltételei.

  13. Komplex Fourier sorok. Integráltranszformációk és elemi tulajdonságaik bizonyítása (linearitás, deriváltfüggvények transzformáltjai). Konvolúció.

  14. Differenciálegyenletek megoldása integráltranszformációval. Állandó együtthatós, másodrendű differenciálegyenletek.

Irodalom

  • M. Beck, G. Marchesi, D. Pixton, L. Sabalka: A first course of complex analysis, Orthogonal Publishing, Edition 1.53.
  • John Roe: Elementary Geometry, Oxford University Press, 1993.
  • Laczkovich Miklós: Sejtés és bizonyítás, Typotex, 1998.
  • Szőkefalvi-Nagy Gyula: Komplex függvénytan, Tankönyvkiadó Vállalat, Budapest, 1966.
  • Vincze Csaba: Komplex függvénytan, kézirat, 2018.

Gyakorlat

A gyakorlat látogatása kötelező. A gyakorlat sikeres teljesítése a vizsgára bocsátás feltétele. A gyakorlati jegy megszerzése a gyakorlatvezető által koordinált zárthelyi dolgozat keretein belül történik. Az eredmény egy alkalommal javítható.

  1.  Komplex számok (összeadás, szorzás, osztás, konjugálás). Kanonikus, trigonometrikus és exponenciális alak. 

  2. A komplex számsík topológiája.

  3. Sorozatok határértéke.  

  4. A geometriai sor.  A hányados és a gyökkritérium alkalmazása.

  5. Függvénysorozatok, függvénysorok. A komplex exponenciális függvény.

  6. Komplex differenciálhatóság: a  Cauchy-Riemann egyenletek.

  7. Komplex görbementi integrál kiszámítása.  

  8. Komplex görbementi integrál kiszámítása - a Cauchy-féle integráltétel alkalmazásai.

  9. Taylor- és Laurent-féle sorfejtés. Reziduum-számítás.

  10. Skaláris szorzat, norma, távolság és szög számítása.  A Gram-Schmidt-féle ortogonalizálás.

  11. Klasszikus ortogonális polinomrendszerek. Fourier együtthatók számítása.

  12. A Fourier-féle trigonometrikus rendszer és a Fourier-féle sorfejtés

  13. Integráltranszformációk: Laplace és Fourier-transzformált.

  14. Differenciálegyenletek megoldása integráltranszformációval.

V. Trigonometria és Koordinátageometria

Előadás

Irásbeli vizsga, a vizsgára bocsátás feltétele a gyakorlat sikeres teljesítése.

Definíciók:

  1. Térelemek kölcsönös helyzete.

  2. Azonosan, illetve ellentétesen irányított félegyenesek.

  3. Irányított szakasz, a vektor fogalma.

  4. Műveletek vektorokkal: összeadás és számmal való szorzás. Lineáris kombináció. Lineárisan függő és független vektorok. Bázis.

  5. Szög szinusza, koszinusza. Szög tangense, kotangense.

  6. Vektorok skaláris szorzata.

  7. Vektoriális szorzat.

  8. Vegyesszorzat.

  9. Affin koordinátarendszer a síkon és a térben. Descartes-féle koordinátarendszerek.

  10.  Kúpszeletek.

Tételek

  1. A vektorösszeadás és a számmal való szorzás tulajdonságai.

  2. A lineáris függőség geometriai jellemzése.

  3. Addíciós tételek. Trigonometrikus azonosságok levezetése (az addíciós tételek alapján).

  4. A szinusz- és a tangensfüggvény monotonitása, konvexitása.

  5. A skaláris szorzat tulajdonságai, a koszinusztétel.

  6. A vektoriális szorzat tulajdonságai, a szinusztétel.

  7. A vegyesszorzat tulajdonságai.

  8. Az egyenes egyenlete a síkon, egyenletrendszere a térben.

  9. A sík egyenlete a térben.

  10.  Kúpszeletek: a kanonikus egyenletek levezetése. A fokális és a polárkoordinátás egyenletek származtatása.

Feladatok

  1. A szinusz-, koszinusz, tangens- és kotangensfüggvény ábrázolása és jellemzése.
  2. Trigonometrikus egyenletek megoldása.
  3. Pont és egyenes, pont és sík távolságának kiszámítása.
  4. Egyenes és sík egyenleteinek (egyenletrendszereinek) felírása.
  5. Körrel és gömbbel kapcsolatos érintési feladatok.

Irodalom

Gyakorlat

A gyakorlat látogatása kötelező. A gyakorlat sikeres teljesítése a vizsgára bocsátás feltétele. A gyakorlati jegy megszerzése a gyakorlatvezető által koordinált zárthelyi dolgozat keretein belül történik. Az eredmény egy alkalommal javítható.

Vektorok.

  • Lineáris függőség, függetlenség.
  • Adott bázisra vonatkozó koordináták meghatározása.
  • Skaláris, vektoriális és vegyes szorzat számítása.
  • A paralelogramma területe, a paralelepipedon térfogata.

Trigonometria.

  • Az addíciós tételek alkalmazása 1. Szögek szögfüggvényeinek pontos értéke (30, 45, 60, 75=30+45 stb.).
  • Trigonometrikus alapegyenletek.
  • Trigonometrikus egyenlőtlenségek.
  • Az addíciós tételek alkalmazása 2. A fáziseltolás módszere

Koordinátageometria.

  • Síkgeometria 1. Egyenes egyenlete, pont és egyenes távolságának meghatározása. Kör egyenlete, érintőegyenes meghatározása, metszési feladatok.
  • Síkgeometria 2. A háromszög nevezetes vonalainak, pontjainak és köreinek meghatározása.
  • Térgeometria. Egyenes egyenletrendszere, sík egyenlete. Metszési feladatok, Pont és egyenes, illetve pont és sík távolságának meghatározása – skaláris, vektoriális és vegyesszorzat.  

Irodalom