Gát György kutatási területe a harmonikus analízis, azon belül az egy- és többváltozós különféle ortonormált rendszerekre vonatkozó Fourier-analízis. Különös tekintettel a szummációs eljárások vizsgálatára. Publikációs listája 135 cikket tartalmaz, (MTMT). Cikkei - többek között - olyan lapokban jelentek meg, mint Acta Arith., J. Math. Anal. Appl., J. of Approx. Theory, J. Geom. Anal., J. Contemp. Math. Anal., Proc. Amer. Math. Soc., Real Anal. Exchange, Studia Math., Constr. Approx. Cikkeire 755 független hivatkozás ismert (MTMT). Különféle nemzetközi illetve hazai konferencián 59 (nem számítva az online rendezvényeket) előadást tartott.
Gát György munkásságának négy kiemelt eredménye:
Kétváltozós függvények trigonometrikus Fourier sorának Fejér közepeivel kapcsolatban Jessen, Marcinkiewicz és Zygmund 1935-ben igazolták, hogy bármely \(L\log^+L\)-beli függvény esetében, ha a közepek indexei végtelenbe tartanak, akkor a Fejér közepek majdnem mindenütt az illető függvényhez konvergálnak. Marcinkiewicz és Zygmund 1939-ben igazolta, hogy ha a közepek indexei egy kúpban maradnak, akkor a bővebb \(L^1\)-térbeli függvények esetében is teljesül ez.
Gát 2007-ben (J. of Approx. Theory) megjelent cikkében közös általánosítását adja Jessen, Marcinkiewicz és Zygmund, illetve Marcinkiewicz és Zygmund eredményeinek. Megvizsgálta e cikkben, hogy az indexeknek milyen ,,kúpjellegű'' halmazban kell ahhoz lenniük, hogy a m.m. konvergencia teljesüljön minden \(L^1\)-beli függvényre. Igazolta, hogy, ha a kúpjellegű halmaz ,,korlátosan nyílik'', akkor a m.m. konvergencia teljesül minden \(L^1\)-beli függvényre, még ha ,,nem korlátosan nyílik'', akkor az \(L\log^+L\) a legbővebb konvergencia osztály. Pontosabban, bármely végtelenben eltűnő \(\delta\) mérhető függvény esetében lesz olyan \(f\in L\log^+L\delta(L)\), hogy \(f\) kétdimenziós Fejér közepei nem konvergálnak m.m. a függvényhez, miközben az indexek a kúpszerű halmazban maradva tartanak a végtelenbe.
Kapcsolódva az ismertetett trigonometrikus rendszerre elért eredményhez, látható, hogy a kétdimenziós Fejér szummáció ,,nem ad'' bővebb konvergencia teret \(L\log^+L\)-nél. Természetes a kérdés, hogy esetleg más ortonormált rendszerek, más szummációs eljárások esetében talán ,,jobb viselkedést kapunk''. Gát és Karagulyan 2016-os cikkében (J. Geom. Analysis) igazolta, hogy nem. Azaz, bármely egyenletesen korlátos ortonormált rendszer és tetszőleges reguláris szummációs módszer esetén a kétdimenziós szummációs módszer maximális konvergencia tere nem lehet bővebb \(L^+\log L\)-nél. Pontosabban, bármely végtelenben eltűnő \(\delta\) mérhető függvény esetében lesz olyan \(f\in L\log^+L\delta(L)\), hogy \(f\) kétdimenziós közepei nem konvergálnak m.m. a függvényhez. Vagyis nem lehet olyan egydimenziós szummációs eljárást megadni, melynek kétdimenziós változata ,,jobb lenne'' a Fejér-féle aritmetikai közepeknél.
Az úgynevezett Marcinkiewicz közepek definíciója: \(\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}S_{j,j}f\). Tetszőleges kétváltozós integrálható függvény Marcinkiewicz közepei m.m. az illető függvényhez konvergálnak. Ezt a trigonometrikus rendszerre Zhizhiasvili 1968-ban, a Walsh rendszerre Weisz 2000-ben igazolta. Gát 2012-ben (J. of Approx. Theory) a Walsh rendszerre éri el ugyanezt az eredményt, de magát a ,,Marcinkiewicz közepelést'' általánosítva, úgy, hogy az \(S_f\) kétdimenziós részletösszeg helyett \(S_{\alpha_1(n,j),\alpha_2(n,j)}f\) részletösszegeket tekint. Azaz pontosabban ahelyett, hogy az indexeket az ,,\(y=x\) tengely mentén a főátlón'' venné, ,,tetszőlegesen'' tekinti a sík pontjait indexpárnak. A cikkben Gát szükséges és elégséges feltételt ad az \(\alpha_j\) függvényekre (bizonyos kiegészítő feltétellel) ahhoz, hogy tetszőleges integrálható függvény esetén az általánosított Marcinkiewicz közepek is m.m. az illető függvényhez konvergáljanak. Az eredménynek jelenleg nincsen trigonometrikus megfelelője.
1936-os kérdése Zalcwassernek (Stud. Math.), hogy mennyire lehet ,,ritka'' egy természetes számokból álló szigorúan monoton \((a(n))\) sorozat, ha azt akarjuk, hogy a trigonometrikus Fourier részletöszegek \((S_f)\) részsorozatának \((C,1)\) közepei \(f\)-hez való konvergenciája teljesüljön majdnem mindenütt minden integrálható függvényre. 2018-ben Gát igazolta (Constructive Approximation,), hogy ha (például) \(a : \mathbb N \to \mathbb N\) lakunáris sorozat, akkor bármely integrálható függvény esetén m.m. teljesül a \( \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N S_{a(n)}f \to f \) konvergencia. Ennek az eredménynek a Walsh rendszerre vonatkozó változatát szintén Gát látta be (2010, J. Approx. Theory).