Záróvizsga | Matematikai Intézet

Záróvizsga tételek (Pedagógus szakvizsga matematika specializáció)

• A természetes, egész, racionális és valós számok bevezetése, a kérdéskör középiskolai vonatkozásai. Tizedes törtek. Konvex függvények, jellemzési tételeik, tulajdonságaik, középiskolai alkalmazásaik. Hatványközepek és alkalmazásaik.
• Valós függvények határértéke és folytonossága. Valós függvények differenciálhatósága, műveleti szabályok, elemi függvények differenciálhányadosai. Határozott és határozatlan integrál, műveleti szabályok. A kérdéskör középiskolai vonatkozásai.
• Geometriai transzformációk tanítása: A geometriai transzformáció fogalma. Az iskolai oktatás különböző területein előforduló geometriai transzformációk. A sík egybevágósági és hasonlósági transzformációi. (eltolás, középpont körüli elforgatás, középpontos tükrözés, tengelyes tükrözés, csúsztatva tükrözés, középpontos hasonlóság, forgatva nyújtás, tükrözve nyújtás). Geometriai transzformációk összetétele, transzformációs csoport fogalma. (Felix Klein erlangeni programja). Egy középiskolai tankönyvsorozat alapján, a 9-12 osztályos tankönyvekből a geometriai transzformációkkal foglalkozó részek bemutatása és elemzése.
• Matematikai fogalmak tanítása. Az algoritmikus, a problémamegoldó és a bizonyító gondolkodási módok fejlesztése. Gondolkodási típushibák.
• A valószínűségelmélet alapfogalmai: Kolmogorov-féle valószínűségi mező, a valószínűség tulajdonságai, szitaformula, a valószínűség folytonossága, véges és klasszikus valószínűségi mező. A valószínűség geometriai kiszámítási módja, feltételes valószínűség, lánc-szabály, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel. Események függetlensége. Ezek alkalmazása bonyolultabb valószínűségszámítási feladatok megoldása során.
• Valószínűségi változók: eloszlás, eloszlásfüggvény, diszkrét- és abszolút folytonos valószínűségi változók, sűrűségfüggvény. Hipergeometrikus-, binomiális-, Poisson-, negatív binomiális eloszlás, egyenletes-, exponenciális-, normális eloszlás. Diszkrét- és abszolút folytonos valószínűségi változók várható értéke, szórásnégyzete, kvantilisei, mediánja, interkvartilis terjedelme. Valószínűségi változók függetlensége. Ezek alkalmazása bonyolultabb valószínűségszámítási feladatok megoldása során.
• Statisztikai alapfogalmak: gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag, szórás, terjedelem, átlagos abszolút eltérés, módusz, medián, kvantilisek. Ezek kiszámítása osztályközös gyakoriság és mennyiségi sorok esetén. Minőségi és mennyiségi ismérvek. Grafikus eszközök: oszlopdiagram, kördiagram, hisztogram.
• Becsléselmélet: pontbecslések (a torzítatlanság és a konzisztencia fogalma, momentumok módszere, maximum likelihood módszer), intervallumbecslések (várható értékre, szórásra). A statisztikai próbák alapfogalmai: próbastatisztika, kritikus értékek, elfogadási- és kritikus tartomány, p-érték. Nevezetes próbák: várható értékre, szórásra vonatkozó próbák.
• Csoport, részcsoport, részcsoport kritérium, Lagrange-tétel, normálosztó, permutációk, néhány példa csoportra (diéder, szimmetrikus, alternáló), Cayley-tétel.
• Komplex számok bevezetése, néhány alkalmazás, számelmélet alaptétele különböző gyűrűkben (pl. Gauss-egészek és a két négyzetszám tétel, Euler-egészek, és a Fermat-sejtés 3 kitevőre).
• Kongruenciák: Kongruencia fogalma, tulajdonságai. Maradékosztályok és maradékrendszerek. Az Euler-Fermat tétel. Lineáris kongruenciák, szimultán kongruenciarendszerek. Wilson tétele. Maradékosztálygyűrűk. Rend, primitív gyök diszkrét logaritmus.
• Számelméleti függvények: Multiplikatív és additív számelméleti függvények. Az Euler-féle φ-függvény. A pozitív osztók száma függvény és a pozitív osztók összege függvény. Tökéletes számok. Különböző pozitív prímosztók száma és az összes pozitív prímosztók száma. A Möbius-függvény. Összegzési függvény és Möbius-transzformált. A Möbius-féle megfordítási tétel.